1.1 Взлет
Вот ракета на космодроме, вот летит, 1-я ступень, 2-я, и вот корабль выведен на околоземную орбиту с первой космической скоростью 8 км/с.
Вроде бы формула Циолковского вполне позволяет.
 
Из учебника: для достижения первой космической скорости υ = υ₁ = 7,9·10³ м/с при u = 3·10³ м/с (скорости истечения газов при сгорании топлива бывают порядка 2–4 км/с) стартовая масса одноступенчатой ракеты должна примерно в 14 раз превышать конечную массу.
Вполне разумная цифра, если, конечно, забыть, что на ракету ещe действует сила притяжения, не входящая в формулу Циолковского.
Но вот какой расчет скорости Сатурн-5 провел С.Г.Покровский : http://www.supernovum.ru/public/index.php?doc=5 (файл "Попасть на Луну" в архиве) и http://www.supernovum.ru/public/index.php?doc=62 (файл "ОЦЕНКА СКОРОСТИ" в архиве). С такой скоростью (менее 1200 м/с) ракета не может набрать 1-ю космическую скорость.
Из Викпедии: В течении своих двух с половиной минут работы, пять двигателей F-1 поднимали ракету-носитель Сатурн-5 на высоту 42 мили (68 км) придавая ей скорость 6164 миль в час (9920 км/ч).
Это те самые, заявленные американцами 2750 м/с. Прикинем ускорение: a=v/t=2750/150=18.3 м/сек². Нормальная трехкратная перегрузка при взлете. Но с другой стороны, а=2H/t²=2x68000/22500=6 м/сек². С таким ускорением далеко не улетишь. Как объяснить второй результат и трехкратную разницу?
На большинстве форумов цитируют этот вопрос и объясняют полной безграмотностью автора, мотивируя тем самым своё нежелание читать дальше. Но, увы, автор закончил не три класса церковно-приходской школы, а Факультет Общей и Прикладной Физики Московского Физико-Технического Института. Что и легко сейчас докажет на примере полета самодельной ракеты, запущенной группой американских энтузиастов 30.09.2011 (http://www.newsland.ru/news/detail/id/803913/). Ракета была оснащена датчиками, графики показаний которых были размещены на сайте события: http://ddeville.com/derek/Qu8k.html.

Для удобства подсчетов возьмем десятую секунду полета. Используя фотошоп для измерения пикселей на рисунке, получим значения: высота = 4.2 км; скорость = 950 м/сек; ускорение = 94 м/сек². На 10-й секунде ускорение уже падало, поэтому я взял среднее с какой-то ошибкой в несколько процентов (10% - очень хорошая погрешность физических экспериментов). А теперь проверим вышеприведенные формулы: а=2H/t²=84 м/сек²; a=v/t = 95 м/сек² Как видите, расхождение в те самые 10%. А совсем не в 300%, о которых я и задал вопрос. Ну, а для тех, кто не в курсе, сообщу: в физике все качественные оценки должны быть получены простыми школьными формулами. Как сейчас. Все сложные формулы нужны лишь для точной подгонки разных деталей (иначе поток электронов пройдет рядом с мишенью в циклотроне).

А теперь посмотрим с другой стороны: средняя скорость H/t=68000/150=450 м/сек; если считать, что скорость возрастала равномерно от нуля (как на графике любительской ракеты), то на высоте 68 км она равна 900 м/сек. Результат даже меньше значения, посчитанного Покровским. Получается, что в любом случае двигатели не позволяют набрать заявленную скорость. Возможно, даже спутник не выведешь на орбиту.
Сложности подтверждают неудачные испытания ракеты "Булава" (с 2004 года): то отказ 1-й ступени, то полет не в ту сторону, а то и просто падение при старте. Неужели на космодромах нет проблем? Хорош пример северокорейцев, которые, очевидно, выкрали наши чертежи, создали ракетоноситель и 05.04.2009 запустили спутник, который, как и полагается, упал в Тихий океан.

А это старт шаттла Endeavour. Как по мне, так это траектория падения в Атлантику.

И, чтобы закончить о полетах с 1-й космической скоростью (7.76 км/сек на высоте 500 км). Формулу Циолковского применяют к вертикальной составляющей скорости. Но чтобы снаряд летел по стационарной орбите он должен иметь горизонтальную 1-ю космическую скорость, как её рассматривал Ньютон, выводя свои формулы:

Чтобы вывести ракету на 1-ю космическую скорость, её надо разогнать не только вертикально, но и горизонтально. Т.е. фактически скорость истечения газов в полтора раза ниже заявленной, считая, что ракета поднимается в среднем под углом в 45° (половина газа работает на подъем вверх). Вот почему в расчётах теоретиков всё сходится - приравниваются понятия "вывести ракету на орбиту" и "поднять ракету на высоту орбиты". Чтобы ракету вывести на орбиту, надо её поднять на высоту орбиты и придать 1-ю космическую скорость в горизонтальной составляющей движения. Т.е. совершить две работы, а не одну (затратить в два раза больше энергии).

Увы, всё же сказать чего-то определенного я не могу - уж очень это дело запутанное: сначала есть сопротивление атмосферы, потом нет, масса уменьшается, скорость растет. Оценить сложные теоретические расчеты простой школьной механикой не получается. Оставим вопрос открытым. Он поднимался лишь для затравки - показать, что не всё так просто, как может показаться на первый взгляд.

Казалось, что этот вопрос так и останется подвешенным. Что можно возразить против утверждения, что шаттл на фото вышел на околоземную орбиту и кривая вниз - это начало витка вокруг Земли?
Но случилось чудо: 24 февраля 2011 г. последний старт Discovery был снят с борта пролетавшего самолета на высоте 9 км: http://www.youtube.com/watch?v=GE_USPTmYXM&
Съемка началась с момента старта (отчет наблюдали на экране в салоне самолета) и длилась 127 секунд.
Давайте сверимся с официальными данными: